一个总角动量L1,他的某方向分量可以取-L1,-L1+1,......L1-1,L1既系统可以取这2L1+1总状态,这些状态是完备的。两个角动量叠加,你的问题应该是问什么最后得到的那组完备的态可以表示成总角动量分别是L1+L2 到|L1-L2|很多个。这个详见量子力学书,例如曾谨言的书。或者专门关于角动量的书。总角动量和角动量的分量都是算符,角动量分量的本征态只能取分立的值。这个投影的概念是不存在的,因为投影的概念需要角动量的所有分量可以同时取确定的值,而实际上角动量的3个分量是不对易的,不能同时取确定的值。投影只是一种经典的观点。sp轨道这里分为两种情况,第一sp轨道是最外层的价电子轨道,如3d金属的4s,4p轨道,他们的 磁矩不予考虑主要是上述轨道在具体结构中由于化学键的作用,能级位置一般在fermi面以上,基本没有被填充,或者占据很少,对于体系磁矩贡献很小,其次上述轨道在空间扩展范围很大,晶胞之间重叠程度比3d轨道要大很多,能带展宽范围很大,表现为类自由电子气的行为,在外加磁场作用下一般产生顺磁性,数值一般在0。0001一下,基本可以忽略;(主要要知道电子磁矩是自旋磁矩和轨道磁矩两部分贡献,对于s能级由于轨道角动量子数是0,因此只有自旋磁矩,自旋磁矩和轨道占据情况有密切关系);第二种情况就是sp轨道是内层轨道,如ti的pseudo atom电子结构是3s 3p 3d plus 4s and 4p,3s和3p对于磁矩完全没有贡献,主要是由于电子为全满层排列,角动量沿z方向的投影,自旋方向是成对出现,并且方向反向,因此最后总的磁矩是相互抵消的,没有净磁矩产生。一般对于金属元素,轨道存在自旋未配对的single electron对于磁矩贡献最大,而且轨道定域性越强这种极化效应就越明显,此外一般对于3d金属磁矩主要来自于自旋磁矩,而非轨道磁矩,主要是l量子数比较小。