欧几里得几何22攻略，欧几里得几何作图

勾股定律又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别a是和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+ b2 =c2 。

勾股定律又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，故称之为勾股定理。

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别a是和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+ b2 =c2 。勾股定理是余弦定理中的一个特例。

公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。

外国

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。

公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。

公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。

1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。

每周一 - 周五上午9:30准时推送

黑色永恒地占据着时尚世界的C位。从Little Black Dress到Little Black Jacket，时装史上两位偶像级单品都直接把“black”写进了名字里。除了各大时装屋爱用黑色，设计师们也不约而同地把黑色作为出场色，他们甚至直接拿“… is the new black”作为讲述一个新时髦的固定句式。

黑色一点也不挑人，谁都可以驾驭，似乎也不需要怎么费心搭配就会有稳定的发挥——不过恰恰是因为百搭万能，黑色才最难穿出彩。人人都可以穿黑不出错，但要把最日常的“黑”穿出有趣的氛围，可需要一番微妙的努力呢。

文 末藏 着 你 最 不 应 错 过 的 「black」

Little Black Dress / Little Black Jacket

条纹、印花，千禧粉、Z世代黄……各种各样的“new black”前赴后继、层出不穷，但如果追本溯源，black本人才最称得上是从未退出过时髦浪潮的最资深“new black”。

COMME des GAR?ONS / Issey Miyake

在时尚编年史里，黑色一直都是经典、万能、不过时的代名词。黑色在秀场和街头都总是拥有无可比拟的魔力，而在忙碌的都市里，一身素黑或是black tee+牛仔裤这样方便的搭配，更是最不会出错的稳定安全之选。

Jil Sander 1996

你一定听说过“黑色最显瘦”——作为收缩色的代表，明度为零的黑色在视觉上能够让身材显得更为纤细紧致；而对于白皙或是黝黑、偏暖或是偏冷的几乎所有肤色，黑色都能“一视同仁”地凸显气色。

山本耀司

吸收了所有光的黑色还最能够建立起必要的“距离感”。不想讲话的一天，大可用黑色来表达情绪。将这种颜色拿捏得出神入化的日本时装设计师山本耀司就有过一段关于黑色的名言：“黑色是最有态度的颜色。既慵懒又随性，同时很神秘。它分明在表达‘我不烦你，你也别来烦我’！”

虽然黑、白、灰总被笼统地标记为“性冷淡”风格，但其实改用“独立”来描述黑色的冷静感更为合适——相比五彩斑斓，黑色反倒是性格更为包容的一个。越是包容，就越是情绪丰富。所以黑色才更能在不同的穿着和表现方式中，呈现出完全不一样的意味和氛围。

黑色可以用气场霸占一切，但同时也能作为最心甘情愿的背景，令色彩和亮度变得更犀利。举一个最简单的例子，认真涂了一个完美的红唇，只有在穿一身黑的时候最能凸显。

相比白色容易出现的“松散感”、或是饱和色彩经常上演的顾自“抢戏”，黑色也是最能让身体显得利落精神的颜色。

虽然黑色的魔力不胜枚举，但如果总是一味地重复“稳定搭配”，时间一久，一旦黑色成为了你偷懒的“逃避方案”，很容易让人觉得无聊、没有什么新意。

黑色其实远比你想象的要“表情丰富”得多——不过，如何才能把黑色穿出彩呢？

「BLACK 使用手册」

三伏天，我们的着装秉持着“越简单越凉快”的被动原则，在这个叠搭难以发挥优势的季节，要把黑色穿得别致好看，最关键的还是巧妙运用配饰来营造轻重缓急，随时改变“颜色质感”，创造出有趣的氛围。

玩闹但不幼稚的黑

作为明亮的点缀，金色最能与黑产生奇妙的化学反应。小面积、灵动的金色配饰，比如线形的耳饰、多节戒指……与黑相配，总是闪烁又不过度的亮点。

当然，略带夸张感的几何造型配饰也是好用又轻松的玩味元素，亮黄、天蓝、白色或是红、橙等明亮颜色都是本季让人心情舒畅的好选择。

金属色的指甲油也可以为黑色添加闪耀却不幼稚的氛围。不过要注意，在这样阳光强烈的天气，选择自带轻盈感的“轻”金属，比如，透明质地的金属色亮片和珠光，反而会比纯度100%的金色更加出挑。

无论条纹或是波点，无论是大是小，带有印花的黑，自带“留白”，本身就能够减轻黑色所带来的重量感。用纯黑+印花黑互相搭配不但轻松不会错，还能起到软化情绪，中和严肃氛围的效果。

知性但不古板的黑

用黑色的衬衫、polo衫、black tee，来搭配金属的细边眼镜，总能够产生比“白衬衫配眼镜”更加生动的知性感。因为白衬衫自有正式属性，理应有的学院感总觉得欠了一些火候，但如果把颜色换成黑色，知性的层次忽然变得多元，甚至“酷”与“乖”还会出现有趣的冲突，更令人着迷。

另一个分外好用的知性元素，便是vintage风格的手表了。圆形或是方形的表盘都可以，皮质表带的颜色也不重要，金属质地表带也不错——最关键的，是要与檀香、丝柏、乳香或是烟熏的木质调香水相配，淡淡的孤高随着安静深奥的黑色气质，飘散在每一方空气中。

“漫不经心”的黑色诱惑术

高级的诱惑感，从来不在于浓重的冲击力，而更在于漫不经心——黑色内衣就算露出肩带也很优雅。很多时候，只要在黑色的装束里，稍稍点缀上女人味的元素，比如珍珠，不过于撩，但有意思。

在黑色中加入小面积的颜色活跃气氛，能够让黑色绎动起来。比如，把小方巾系于颈间，或是扎在额前；又或者，用动起来才能见到的色彩内搭，犹抱琵琶半遮面地令人好奇，表露女孩们细腻的心思。

不过，要说更进阶的“黑色诱惑术”，“黑色 + 黑色”的高纯重叠往往最有奇效。同样是黑色，同样不会出错，但当black tee遇到优雅的黑色蕾丝、轻盈的黑色纱纺，或是叠搭一只造型感黑色包包、一双藏有暗纹的黑色高跟鞋……不同材料、质地的黑，有着完全不一样的运动轨迹和重量感，会讲不同的情话。

不论性别和年龄都可以穿着的平衡黑

对女孩来说，营造恰到好处的有趣氛围，能让黑变得甜美，但同时又显得帅气十足。比如，用大表盘的、或是中性风格的手表，为修身的黑衫黑裙创造帅气利落的视觉重点；或是用可爱的发带、细带的高跟凉鞋、草编的篮子来为宽身、利落的黑色造型添加精致、柔和的视觉重点。

黑色是一种任何年龄都适合的魔力颜色。但是，不管是20岁还是40岁，都需要在“穿黑用黑”时注入“时刻精神饱满”的意识，才能把黑色用得张弛有度，不淡也不骚。比如，舒适的黑色卫衣，用更加利落有棱角的下装来搭配，或者，女人味十足的雪纺花边黑裙，用有一双踢踏有声的绅士鞋来加持，才会娘MAN平衡。

Voicer人手一件的……black tee

Voicer Essential / black tee

也许是你本季最应该拥有的生活必备

论一件black tee的“人设”

一件恰到好处的black tee，需要有趣但不浮躁，不高调也不沉闷。黑底黑字的“black tee”自述，不会比你更抢镜，但总能让看见的人，心照不宣又印象深刻。

7/24小时的陪伴

为了“从床上穿到正式场合”，black tee选用了克重230、支数40的新疆长绒棉，保证衣身既软糯透气，又挺括利落。舍弃令脖颈不适的领标，去关注更为重要的贴身舒适感。

从10岁到100岁，男女都能穿

一件unisex的black tee，能够包容不同性别、年龄、身材，并且每次穿起来都利落合身、精神饱满的black tee，需要反复修正衣身版型、领口弧度与大小，甚至三种尺寸比例。

每日都想摸到的触感

一件有着身体喜欢的“绒触感”、每日都想穿着的black tee，需要一一经过“轻磨毛 + 柔软水洗”的特定工序，才能有织物表面温润的安心。

你知我知的隐藏彩蛋

我们希望Voicer的essential系列，无论现在还是未来，都是我们之间暗号一般的存在。同时，衣服内侧也暗藏玄机，一小张别人看不见的Voicer logo拆解贴布，它们是你知我知的隐藏彩蛋。

有时候，我会一个人躺在家里自己并不喜欢的卧室和床上，听着一首《 Ballet 》，专门想象自己 5 年到 10 年后的一些生活细节。

比如，我会想象，如果以后自己真的拥有了一间不用再搬出去的卧室，我要用上两层的纯色窗帘，一层是灰黑色的 PVC 挡光布，一层是柔和的淡黄色帆布。

这样，无论我睡到几点，都看不出来时间了。

也只有在这样的卧室里生活，我才有属于自己的一份安全感。

很多人都低估了想象的力量，或者说，从来没有重视过。

所以今天，我希望准备这篇特别的、也需要你参与的文章，一起想象、回答几个问题。

如果你和我一起准备完这些答案，我相信，你将会收获到一些不一样的感受。

现在

开始和我一起想

从繁复的 24 小时 online 的生活中回过神来，你终于拥有了一笔可以花费很久的存款。你不用考虑工作了，可以随时辞职。

你将会作出什么选择？会辞职吗？去重新选择当年爸妈不让你进行的选择吗？

想好了吗？

想好了才能看我的答案

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相信吗？我可以一天睡 15 个小时，甚至更多。

一旦我有了一笔大钱，我一定会在市中心的高层上买个房。我们公司在 34 层，那我的家至少要在 40 层。家要大，但卧室要简约小巧，才有安全感。

晚上，站在落地窗旁，我就低头数一个个火柴盒一样的车。

看累了，我就开一盏暖黄色的台灯，看一本厚厚的书，在笔记本上记下书中令人心动的场景和句子。

困了，我拉上窗帘，蒙头睡到第二天中午 12 点，起床洗漱吃顿早午餐，我滑滑手机，吃饱人就容易犯困，下午三点半，继续睡。

睡得够克制的话，我就在六七点醒来，吃顿饭，然后继续看星星、看车、看雨、看书，再去睡觉。

我只想睡。

未来的你，刚好赚够了买一套公寓的钱。这一次，你可以完全忽略家人和朋友的意见，自己决定。

设计师问你：“洗手间的镜子，请问你想怎么选择呢？要有花纹边框、精致的，还是一块小半身镜就可以了？”

看起来很简单的问题

其实不容易想象

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我认真想了一下，我可能会选择一块简单的镜子吧，但尺寸一定要大。

我以前的家，是从来不注重镜子的。以至于，有时候出去玩，碰到一块很清晰的镜子，我会静静地盯着自己，看好久。

偶尔，我会惊讶地发现，原来自己某天左眼的红血丝明显比右眼多，鼻翼的右侧已经有一个即将生成的痘，又或者今天状态原来还不错。

也是那些瞬间，我意识到，在日常的生活里，其实我真的没有真心关注过自己的样子。

如果我拥有一个属于自己的地方，我希望，它能时刻提醒我，我到底活得怎么样了，我还好吗？

你已经在几何建筑密布的城市待了很久，那天，你谁都没有告诉，来到了乡下。你为什么要来乡村呢？是要做什么呢？

其实

我们不是只能在城市生活

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我一直记得，小时候那一次春游，老师带我们去到乡村烧烤。

在车上路过一座山的时候，我问幼儿园老师说，电视里的东北在哪里？

老师说，就在山后面。

但几年后的某天，我突然听到有人说，那座山后面只是另外一个村子而已。直到现在，那一刻的失望还是能让我感到难过。

我想，如果我要去乡村，我就去以前那一座山，自己翻过去看看山的后面是什么。

以前，我总是习惯于听信别人的答案，以为答案才是最重要的。但现在我知道，自己发现答案的过程也同样重要。

如果翻过去，我真的只是看到了一个村子，那也同样让我感到新奇，而不是失望。

多年后一个夏日的周五傍晚，你放下手头整理完的策划表，把平板电脑、耳机迅速收进包里。

这是繁忙的工作里，难得的一次按时下班。你突然想，自己可以在一周最愉快的夜晚里，做一件特别的事情。

那么，这件事是什么呢？

你觉得

这件事真的很难实现吗

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这个晚上，我要邀请这辈子被我放过最多次飞机的三位朋友来我家看电影。

不过，要看那种恐怖、但不至于做噩梦的电影，日本的《奇妙物语》特别版就是一个很好的选择。因为，我要让大家留下足够深刻的印象。

我还要让他们知道，为了弥补以前的遗憾，我真的很认真地准备这一次的聚会。

在他们到之前，我得赶紧回家，收拾地毯上随手扔下的脏衣服，只有这样，他们才可以坐在毯子上，盖着被子，吹着空调，并且忘记我不爱收拾家的过去。

在客厅的桌子上，从左到右，我会按名字摆上虾条两包、百利甜一瓶和水果软糖一包。

我要让他们知道，多年以后，我还分别记得他们最喜欢吃什么，而他们只需要坐在对应的座位上，就可以想起我们以前在一起玩的感觉。

我们一定要聊到三点，然后随便躺在地上昏睡过去。

这个问题简单，但又不简单。如果你有能力去帮助你生命里遇到的一个人了，那个人会是谁？为什么想要回去帮助他？

不是所有的遗憾

都能弥补

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我第一个想到的是我哥。

我十岁的时候，他订婚了。在酒席上，他喝多了，说错话顶撞了长辈。爸妈在外人面前也不护短，我哥被大家你一言我一语地责骂着。

我也跟着假装大人一样数落他，讲了一些难听的话。

那天晚上，他最后自己落寞地抽着烟先走了。

后来的十年，我上了寄宿学校，我和我哥的联系越来越少。到现在，他有了自己的家庭，我们更没有交流了。

去年我数了一下，我们只说了十几句话。

如果我有能力帮助一个人了，那我希望那个人是他。我想帮他说说话，哪怕一句也好。不知道是不是这样，我们就不会像今天这么生疏了。

许久不见的、以前有过纷争的旧友，因为一个契机重新联系上了。你决定一起和他再去做一件开心的事，那件事情是什么呢？

这个答案

我好像准备了很久

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其实我内心里一直偷偷藏着一个和解的地方。

那是北京三里屯的一家昏暗的，只有 4 张桌子的居酒屋，那里有一个永远挺直腰背擦杯子的日本老板。但是我不喜欢喝里面主推的日本威士忌，反而喜欢喝那里的，我在别的地方从来没有见到过的「抹茶鸡尾酒」。

前后两个，和我近一年没有再联系过的朋友，都是在那里喝了一顿酒，聊了 3 个小时之后恢复联系的。

我想了想，大概是因为，这家店的简约特调和氛围总能带给我们新的感觉吧。在那里呆着，就会有一种错觉，既然当下这样新鲜和有趣，过去的就让它过去吧。

如果 5 年后，让你选择跟男/女朋友去一个沙滩，游上 10 分钟的泳，水温是 20 度左右，你会选择一个怎么样的沙滩？

闭上眼

谁的脸在你眼前浮现？

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坦白说，在看到这个问题的时候，我认真想了很久，甚至在脑海里挑选很多不同的脸孔。

但我发现，无论是现在微信的偷偷置顶，还是软件里和我暧昧的陌生人，都没有办法，把他们放到这样美好的一个画面里。

如果真的有这个画面，目前大概还只有我自己吧。

世界有那么多好看的沙滩，我都 24 岁了，却还是没有去过几个。

现在忽然很想发起一个去沙滩的活动了，去遍世界各地的沙滩，或许我们会成为陪伴对方一辈子的人。

不知道，今天的评论区有没有人也有这样的想法？如果你有这样的想法，留言微信号吧，我会拉你进群。

10 年后，某个下着雨的夜晚，你和你爱的人倚靠在昏暗卧室中柔软的床上，右手边有杯口感细腻的奶茶，面前的荧幕上正播放一部老电影。

美好的记忆通常都是伴随着气味的，所以和喜欢的人在一起的时候，你也会确保空气里充满喜欢的味道。

你会希望那是什么味道？

这是一道选择题

我们准备了三个选项

点击选择第一种味道

点击选择第二种味道

点击选择第三种味道

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三款我都喜欢 ：D

在这我有点兴奋地想告诉你，回答这些问题时，我体会到一股力量，那像是动力、向往，甚至是一份与想象相反的清醒——

我可能一辈子都买不到一所位于 40 层的大房子，但我最近就可以重新收拾小房间，在一个写完广告的周五请好下周一的假，在那三天睡个彻底。

那几个被我放过最多次飞机的朋友，我给他们发去了见面邀请。

其中有个考研成功暑假空闲的，她竟然答应下周五来找我，而今早我连她做的攻略都收到了。

还有，在时空破碎前，我回不去那个订婚宴。刚才我打开我哥的朋友圈，犹豫了下，给最新的那条动态点了一个赞。

呼。这大概就是想象带给我的实际动力吧，我嗅到愉悦的气息。

也不知道你在做那些微小的选择时，脑海里冒出了谁的身影。

这些年来，总有朋友告诉我说想尝试一场说走就走的旅行。但我想说，沉迷于形式主义的蓄意旅行，有时并没有意义。

要知道，归去来兮，人们总要面对那些逃避不了的东西。

生活中那些繁琐不会因为一次短暂的逃离而消失，真正想要让生活变得简约，可能需要一份勇气去重新梳理。

而你也会发现，当人开始想象，哪怕只是想象几年后一个小选择，都会收获带着向往的快乐，去支撑我们思考当下要做什么去靠近它。

想象里，有我生活真正的要义。

杜维埃的田园，比亚利兹的海滩，加上威尼斯的气息，我用香奈儿之水系列的三款香水带来的灵感，在这里创造了一个简单的想象空间。

想象更是一种简约的生活方式，让你直达内心深处最渴望触及的地方。

而组成上述想象画面的元素，无论是关于美好的想象里，那一间氤氲气息的居酒屋，还是关于愿景的想象里，那个久违的画面，都像是香奈儿之水的独特与馥郁，柔和与优雅，自然流露了其高贵的气质。

它让人陶醉的气息，也希望无时无刻不提醒你，简约才应该是未来生活的样子。学会带着勇气去过上简约生活，亦是高贵的新定义。

香氛结构中令人愉悦的气息，更是激发起无尽的想象，在转瞬即逝间仿佛看见自己放下手中的一切，奔向心驰神往的海边与田园。

香奈儿之水所带来的，不仅是心灵的旅行，更是对自由的满足。它以令人心潮澎湃的亲密体验，引发内心深处的情感共鸣。

旅行的意义并不在于抵达终点。

用简约的片刻想象，先行召唤起心中描绘的愿景和探索未知的好奇，然后去生活里游弋，这正是香奈儿最期望带给你的勇气与高贵。

点击阅读原文，即刻开启想象之旅

策划 | Blake Wendy

编辑 | Kitty 仙草 哮天

音乐 | 小瀬村晶 - ballet (live)

设计 | BigCutie / Fire

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编者按：本文来自“混沌大学”（ID：hundun-university），作者：李善友，内容根据4月7日李善友教授在混沌大学的课程整理而成；36氪经授权转发

这是关于“第一性原理”的完整阐述，希望你能不断“死磕”，完成真正意义上的认知升级。

如果你真的想拓展思维路径，一定要跟这些伟大的人交朋友。

—— 李善友，混沌大学创办人

授课老师 | 李善友 混沌大学创办人

究竟什么才是“第一性原理”？

简单说，广义思维模型，由浅入深，有三个层次：

① 具象模拟

通过类比、比喻实现，偏模拟化，比如冰山模型，一说就出现了类似冰山的形象。

② 思维模型

用归纳法提炼总结日常经验，偏抽象化，比如达利欧的《原则》、巴菲特的“价值投资理念”等。

③ 第一性原理

最底层的思维模型，偏理论化，基于重要学科的基础理论演绎推理而来，比如马斯克的“物理学还原论思维”，贝索斯的“反熵增”等。

更形象一点，我给你打个比方：

你每天吃的饭和干粮，就好比是“具象模拟”，你吃一顿大餐，就像思维模型，而真正最精华的那一小撮东西，才叫第一性原理。

对大多数同学来讲，你能够找到三个思维模型就可以了，如果连这个也找不到，可以接受你用比喻的方式，找出你的具像模拟，也勉强算起步。

而对另外一小撮同学，我的期望是 ——

要真正的去阅读经典原著，找到最底层的第一性原理。

这是我们做逻辑推理的地基，像盖房一样，想要把楼房盖的越高，就得往下挖的越深。

有了第一性原理，才能保证推理的确定性和稳定性。

逻辑奇点，第一性原理的钥匙

第一性原理的首创者是亚里士多德，他在《第一哲学》里提出：

任何一个系统都有自己的第一性原理，是一个根基性命题或假设，不能被缺省，也不能被违反。

第一性原理的结构是什么？

它建立在一条或者几条逻辑奇点之上。

Tips：什么是“奇点”？

“奇点”这个词，来自于宇宙学。所有的科学家、物理学家和天文学家都相信宇宙大爆炸，但宇宙大爆炸之前状态是什么？不知道。

所以，就假设为奇点状态，即时间、空间、质量都没有，是个没有大小，但是有无穷能量的状态。

逻辑奇点是不证自明的事实，或是更大系统的第一性原理，是我们解开第一性原理的那把钥匙。

换句话说，如何找到这个系统的第一性原理？方法就是找到它的基石假设，找到它的逻辑奇点。

这个方法也叫做公理化方法。

Tips： 公理化方法的起源

公理化，这个方法论起源于欧式几何。

欧式几何的创始人叫欧几里得，他有一本书叫《几何原本》。

欧式几何庞大的几何学建立在 5 个公设和 5 个公理之上，演绎推理出 467 个命题。

元知识的思维方式，重要学科的第一性原理

接下来，我将以四个学科为例，向你展示，如何用公理化的方法推演各个学科的第一性原理。

这些元知识点背后的思维方式是怎样的？

在知晓答案之前，你需要跳出来思考的问题是：

如果让你推演你的第一性原理，你怎么推？

如果你是牛顿，你怎么推演物理学的第一性原理？

如果你是达尔文，你怎么推演生物进化的第一性原理？

……

物理学：牛顿 —— 万有引力

牛顿大概22岁时，全部思想就形成了，把思想表达出来成书时，完全用的是欧式几何的表达方式。

牛顿全部力学，建立在两个逻辑奇点之上：引力与惯性。

我们先从亚里士多德讲起。

他认为地球上所有物体都是由土元素构成，土元素有一个内在的性质，要向宇宙中心运动，而宇宙的中心是地球。所以一松手，物体下落，物体之所以要运动，这是内在秉性造成的。

这是亚里士多德的逻辑奇点。一千多年以后，牛顿打破了它。

牛顿认为，物体之所以运动，不是因为内在有这样运动的倾向，而是因为有一个外力推动了它。

比如这本书之所以要落下来，是因为地球对这本书有一个引力。

于是，亚里士多德原来关于运动的理论，被牛顿的力学代替，引力成为牛顿的基石假设之一。

亚里士多德还有一个静止的原理，他说物体即使运动，最终一定会停下来，静止才是物体的本质状态。

而牛顿说，运动的物体将一直保持匀速直线运动状态，除非有外力让它静止下来，因为，物体有惯性。

你要知道，惯性定律是与日常直觉相反的，我们今天可能听熟了这个词，但在最初，是极其震撼的。整个17世纪，最难发现的就是这个道理。

为什么牛顿能提出这个道理？

—— 求助哲学

牛顿相信古希腊德谟克利特的“原子论”：

宇宙是巨大的甚至是无限的；

地球就像宇宙中的一个原子；

在无限宇宙当中，由于空间太大，单个原子一旦运动起来，不会受到任何阻力，此时会永远匀速运动。

惯性定律提出以后，根据假设演绎法，就得出了牛顿的第一性原理：万有引力。

生物学：达尔文—— 进化论

达尔文的进化论，有且仅有两个逻辑奇点：遗传变异与生存竞争。

之前，人们普遍认为所有的物种是由上帝创造出来的，达尔文也不例外。

但达尔文本身又是一位科学家，有可证伪性精神。5年远航期间，他把搜集的标本拿回英国考察，的确发现有新的物种产生了。

于是，他发现了第一个机制 ——遗传变异。

但为什么有了遗传变异，就能产生新物种？他还是找不到道理。

跟牛顿一样，达尔文也求助了哲学：

1837-1838年，是达尔文一生当中在知识上最活跃、最亢奋的时期。他贪婪阅读各种书籍，地质学、生物学，以及大量哲学，并且急剧地转向了不可知论——

所有重要的知识人类还未了解，过去所有的洞见都可以被打破。

接着，1838年9月28日，达尔文阅读马尔萨斯的《人口论》，里面提到了人口的繁殖跟竞争的关系，这让他获得了顿悟，第二个基石假设由此而出 ——生存竞争。

于是，达尔文关于进化论的假设演绎法由此形成——

资源稀缺会导致竞争，每一代繁殖都会有遗传和变异，适应的基因被选择下来，不适应的被淘汰下去，久而久之这些变异的累积，就会产生新物种。

伟大的达尔文，捅破了原有机械论世界观下面的基石，跨越了非连续性。

事实上，物理学在上个世纪以及上上世纪的时候，是自然科学的根基。而当代，生物学已经是所有自然科学的根基了，尤其是1960年代发现了DNA之后。

再比如，当我们讲管理的时候，管理的底层边界是牛顿的机械论。可当我们讲创新的时候，创新最底层的边界是达尔文的进化论。

所以，你一定要学习达尔文的进化论，这个生物学思维，一定会为创新打开无数大门。

政治学：林肯—— 人生而平等

《人类简史》说，美国建国以前和之后，整个政治学的最大贡献就是美国政治学的第一性原理 ——人生而平等。

这也是 1776 年《独立宣言》开篇的第一句话：

我们认为这是一个不证自明的真理：人生而平等。

在这个理念之前，几乎全世界所有的政治理念都是“人生而不平等”，比如日本、古代中国、印度、大英帝国等，都有层级。

《人类简史》说，“人生而平等”，这句话在生物学上是不成立的，但它构成了今天美国政治学的“逻辑奇点”和“基石假设”。

没有任何人敢否定这句话，这是所有政治正确里面最政治正确的一句话。

研究发现，这句话的逻辑奇点来自于清教思想和古希腊哲学，这些对美国建国的那一小撮先德们产生了剧烈影响。

解放黑奴，是林肯最伟大的贡献之一。

现在看来很简单，但在当时，议会里全是白人，大部分是反对黑奴独立的。在那样的政治氛围之内，签署这个法律并且让议会通过，非常艰难。

这个“决策”是怎样被通过的？

奥斯卡影片《林肯》里，有这样一个场景：

在签发解放黑奴的法律之前，林肯一人独处书房，手里拿着《欧氏几何》，死死盯着第四公设：所有直角都全等。

这就是第一性原理，这就是“欧式几何”的力量。

大部分人都认为“欧式几何”仅仅是一个几何，只有那一小撮人能看到“欧式几何”是一个哲学。

在此影响下，林肯建立了人生而平等的基本原则。后来，它成为今天美国政治的根基。

经济学：亚当·斯密—— 看不见的手

当代经济学最重要的第一性原理来自于亚当·斯密 ——看不见的手。

之前，几乎所有人的基石假设是为富不仁，这个世界的财富都被富人抢过去了，穷人会越来越穷。

比如《圣经》就有句话，富人上天堂，难过骆驼钻过针眼。

但亚当·斯密打破了这个逻辑奇点，在 1776 年出版的《国富论》中，他推论说 ——

人变得富有，不是因为剥削邻居，而是因为让整个饼变大了。

有钱人推动了经济成长的巨轮，让人人都受益。

没有创业家，就没有经济成长。

个人在经济生活中只考虑自己利益，受“看不见的手”驱使，即通过分工和市场的作用，达到国家富裕目的。

小结：

王东岳讲过一句话，我们不是生活在客观世界里，而是生活在思想家的思想通道里。

所以，如果你真的想拓展思维路径，一定要跟这些伟大的人交朋友。

要知道，每打破一次边界，人类的生存空间会扩大 10-100 倍。

同理，如果你能打破思想边界，找到第二曲线，生存空间也能扩大 10-100 倍。

尾声

第一性原理，用大白话说，就是任何事物背后必有道理，跟柏拉图的理念论完全一样：

这个世界的本源不是物质，而是物质背后的基本秩序。

换句话说，你得相信世界背后有不变的理念，你才能说，任何事物背后必有道理。

有时候，别人问我，你最大的理想是什么？或者你穿越回古代，你想去哪儿？

我说，如果穿越到古代，我想穿越到柏拉图的学园，当他带着大家边走路边讲课的时候，我在旁边听上一句两句。

那是宇宙最光辉灿烂的时代。

彩蛋：如何找到你的第一性原理？

再重复一遍，我并不期待你在混沌一年的学习里面，真正找到第一性原理，因为很难。

为什么？因为在哲学上，它必须符合三个特征：

① 第一因

第一性原理，一定是因果分析的第一因，在哲学里会叫追究终极。比如，奇点是宇宙大爆炸的第一因，统一场论是物理学的第一因。

② 简一律

第一性原理必须符合简一律。

判断一个系统是不是理性系统，只有一个标准——这个理性系统一定要运行在一条基本道理之上。

③ 动力因

第一性原理最大的作用是给你提供了曲线转换的动力因。

比如：

马斯克的动力因是物理学的还原论思维，拆到第一点，然后重新组合；

乔布斯的动力因是变化思维，而且连续性变化。一个产品刚刚发布之时，他已经开始了下一个产品的研发，等待摧毁上面这个产品；

马化腾是生物学思维。从QQ到微信，不是布局出来的，是从下而上长出来；

马云跟别人不一样，他不做执行的事情，甚至不做战略的事情。他只做一件事情，就是跳出边界。

总之，凡是目光所及范围之内，用眼、耳、鼻、舌、身体验出来的，一定不是第一性原理。

第一性原理是所有表象背后不变的东西，是一个哲学概念。

如果你想成为那一小撮人，想要取得更大的成就，就需要运用哲科思维，去找到它。

?图源：Pixabay.com

当人想要模仿行走时，他创造了与腿并不相象的轮子。

——（法国）阿波利奈尔

撰文 | 蔡天新（浙江大学数学学院教授）

责编 | 陈晓雪

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谁发明了独轮车？

自行车的发明，让乡村小伙子们能够去遥远的村庄寻找自己心仪的女孩子。我所认识的已故美国作家戈尔·维达尔认定，自行车的发明使得世界人口有了少许的增长。对此我是这样理解的，有了自行车以后，在当时人口主要集居地的农村，青年人择偶范围的半径扩大了两三倍，面积则扩大了近十倍，结婚率和生育率因此有了相应提高。

在自行车发明之前，人类早已发明了使用轮子的手拉车。大约于公元前1500-前900年形成的印度医学典籍《梨俱吠陀》（Rigveda）里，就有这样的诗句：

男人与女人相互平等

一如手拉车的两个轮子

这部典籍是印度医学之源，属于世界上最古老的宗教——吠陀教的经典《吠陀》。全书用诗的语言写成，“吠陀”的本义是知识，“梨俱”是作品中诗节的名称。

?印度南方的四轮手推车。作者摄于班加罗尔。

直到19世纪60年代，为躲避宗教迫害，从东海岸的纽约移民到西部犹太州盐湖城的摩门教徒们，在首领杨百翰带领下，仍使用手拉车完成迁移。如今，以杨百翰命名的大学是美国最大的教会大学、历史第三悠久的私立大学，拥有一个频繁国际演出的歌舞团。

手拉车或手推车通常分为独轮、两轮、三轮和四轮四种。虽说多轮的运货车大约在五千年前已经出现，独轮车的发明却要迟许多。一般认为，独轮车是由古希腊人发明的，可是证据少得可怜，仅仅有两张发现于阿提卡半岛的古代建筑物资清单，这两份清单开列于公元前408年至前406年间，出现了monokyklou、dikyklos和tetrakyklos字样，后两者分别意为“双轮车”和“四轮车”，而mono有单一之意，加上非复数后缀。因此，monokyklou被解释为独轮车是合理的。但实际上，在整个古典希腊时期，都没有使用独轮车的其他文字、图像或实物留存下来。

除了希腊，中国也被认为是最早发明独轮车的国家。独轮车在四川和山东发掘的汉墓壁画及浮雕中已有出现，而按文字记载，独轮车的概念来自三国时期的蜀国丞相诸葛亮（181-234）。陈寿的《三国志》（280）里就有记载“木牛流马，皆出其意”，后人考证，木牛流马很可能就是独轮车。到了宋代，高承所撰《事物纪原》也将独轮车的发明归功于诸葛亮。

更早一些时候，在主要取材于西汉经学家刘向（前77-前6）所著《孝子传》的《二十四孝》一书中，有自幼丧母的董永用“鹿车”载父的故事。“鹿车载自随。”鹿车，很多人也认为是独轮车的别称。董永后来卖身葬父，成为孝子的模范，他的故乡湖北孝感因此得名，那儿还有“董永与七仙女”的爱情故事和“一日夫妻百日恩”的俗语流传。

在范晔的《后汉书》（445）里，也有两则与鹿车有关的故事。

其一是成语“共挽鹿车”。大夫鲍宣（前30-3）的新娘少君出自有钱人家，嫁妆丰厚，但鲍宣拒绝接受。于是少君把华丽的服饰全部收藏起来，改穿简朴衣裳，与鲍宣一起推着鹿车，到了鲍宣家。拜见婆母后，就提着水瓮去汲水，奉行做媳妇的礼节，获得乡亲称赞。

其二发生在公元23年。赤眉起义爆发，杀死西汉最后一个皇帝刘玄，大臣赵憙也被赤眉军包围，只得从房上逃走。同行的有好友韩仲伯，韩因妻子长相漂亮，担心贼兵强暴她，自己也会跟着受害，于是要把她丢下。赵憙责骂他，用泥涂在韩妻脸上，把她装上鹿车，亲自推行。每遇贼兵，赵憙就说她病重，得以免受污辱并逃脱。

自行车的发明者

1866年清朝首次派出出洋考察团，19岁的（辽宁）铁岭少年张德彝随行。回国后他在游记《航海述奇》里用了“自行车”一词，这是自行车一词在汉语里的首次出现。除了自行车，电报、螺丝等也是张德彝翻译的，他还首次引进了标点符号，介绍了蒸汽机、升降机、缝纫机、收割机、管道煤气、巧克力，等等。

1790年的一天，一位叫西夫拉克的法国青年，行走在巴黎的一条小街上。因为头一天下过雨，路上有许多积水。忽然，一辆四轮马车从身后疾驰而来，西夫拉克躲闪不及，被溅了一身泥水。路人看见，替西夫拉克不平，想喊那辆马车停下，他却摆摆手。马车走远了，西夫拉克仍待在路边，他寻思着：为何不让马车瘦身呢？可否不要马拉？可否把四个车轮变成两个车轮？不是早期手拉车或马车那样并排的两个轮子，而是前后各一个。他这样想着，回家就动手开始设计。

此时，离开马车（还有牛车、驴车）诞生已过了四千多年。大约在公元前2000年，黑海附近大草原的部落骑马来到底格里斯和幼发拉底之间的两河流域，开始用马来拉有轮子的车。这些马车不仅拉货运物，也载人。之后，马车就成为世界各国主要的交通和运输工具。

经过反复试验，第二年，即莫扎特去世的那年，西夫拉克设计出了第一架代步的不需借助外力的车子。它是木制的，没有驱动和转向装置，骑车人靠双脚用力蹬地前行，改变方向时必须下车移动。即使这样，当西夫拉克骑着这辆自行车到公园兜风时，看见的人也都颇为惊异和赞叹。1817年，德国人德莱斯给自行车装上了车把，可以控制方向，翌年在巴黎作了第一次展示。实用则要到1861年，法国人米肖父子在前轮装上曲柄，不用踩地，用脚驱动就可以带动车轮前进。第二年，他们制造了140多辆，第五年产量达到了400辆。1874年，英国人劳森为自行车装上链条；1888年，爱尔兰兽医邓洛普发明了充气轮胎。

?小米肖的自行车（1868年）

至于张德彝在游记中所描述的在伦敦街头见到的自行车，应该还没有链条和充气轮胎。“前后各一轮，一大一小，大者二尺，小者尺半，上坐一人，弦上轮转，足动首摇，其手自按机轴，而前推后曳，左右顾视，趣甚。”

其实，制造出第一辆自行车的是一位中国人，那还是在西夫拉克之前一个世纪的清朝康熙年间，发明者是扬州人黄履庄（1656-？）。据《清朝野史大观》（1915）记载：“黄履庄所制双轮小车一辆，长三尺余，可坐一人，不须推挽，能自行。行时，以手挽轴旁曲拐，则复行如初，随住随挽日足行八十里。”

黄履庄的表兄弟为他写的小传里也提到此事，那年他还不到28岁。遗憾的是，黄履庄的双轮小车既没有保留下来，也没有得到推广，这是一件非常让人惋惜的事。有人说他发明的也许是轮椅，但轮椅怎么能走得那么远呢？黄履庄在工程机械制造方面有很深的造诣，除了自行车，他一生发明无数，被后人赞为“中国的爱迪生”。

黄履庄的发明远近闻名，传到了安徽宣城梅文鼎的耳朵里。梅文鼎是清代最著名的数学家，大学士李光地曾邀其住到京城家中，向他学习数学和天文。后来经李光地推荐，康熙召见了梅文鼎，在南巡的御舟中两人曾连续三天谈论数学，康熙还亲书“绩学参微”四字以资鼓励。黄履庄去世后，其墓地由江宁织造、作家曹雪芹的父亲奉旨营造。

梅文鼎听到黄履庄发明许多奇器的传说，将信将疑，亲自到扬州登门拜访。当他来到黄家，举手敲门，门边的一条狗突然朝他大叫，梅文鼎不知所措。这时候黄履庄开门出迎，只见他拍拍狗的脑袋，它就乖乖地躺下，也不再发出叫声了。

原来这是主人特制的木狗，有人来敲门时会发出狗叫声，起到门铃的作用。遗憾的是，作为数学家的梅文鼎并未发现，黄履庄发明的双轮小车亮点在于，用两个圆圈替换两条直线（行走的双腿），也就是直线与圆概念的偷换。而在非欧几何学里，圆和直线可以是等价的。

神行太保与机器人

发明一种机械，代替人的行走，或像鸟一样飞翔，这是人类存在已久的梦想。明代小说家施耐庵的《水浒传》描写的是距今一千多年前北宋的故事。其中有个人物叫戴宗，绰号神行太保，他是我孩提时代艳羡之人。戴宗原在江州（今江西九江）做官，为救助宋江，他伪造了蔡京书信，被识破后上了梁山。戴宗排行第二十，职司为总探声息头领，可谓是如今信息社会的先行者。

戴宗有道术，每当他把甲马拴在腿上，能日行八百里，为梁山五绝之一。第39回有一首《西江月》描写他的神行法：“顷刻才离乡镇，片时又过州城。金钱甲马果通神，万里如同眼近。”那么，究竟何为甲马呢？甲马是古人祭祀用的物品，作者在这里把它作为一种飞行神器。而在我小时候的想象里，甲马是一根短小的棍子，像田径比赛的接力棒，绑在腿上。用直线代替直线，这无疑是模仿，一种较为简单的想象力。

按评书的说法，戴宗跑得快是因为他有一匹古怪坐骑，集十二生肖的特征于一身。再细看《水浒传》，甲马每次用后要烧掉。同样是在第39回，戴宗夜宿客店，“解下甲马，取数陌金纸烧送了。”既然如此，甲马应与纸钱一样是纸制品，它是供神灵升天时骑用的。戴宗的道术在于此，他利用了神灵享有的权利。但甲马不能白用，所以每次用过之后，都要用纸钱一起烧送。

有时候，写作会是一种预言。1920年，捷克作家卡雷尔?恰佩克（1890-1938）出版了剧本《罗素姆万能机器人》，剧中有位名叫罗素姆的哲学家研制出一种机器人，被资本家大批制造出来充当劳动力。可是，如果世界上充满了机器人，那人类就会停止生育而面临末日。因此作者描写了一对会恋爱和生育的机器人，以此象征人类将免遭灭亡。

翌年，这出极富想象力的戏上演后轰动了欧洲。恰佩克在剧中创造的“机器人”角色和词汇robot，已被西方主要语言接纳，这部作品也被译成各种文字。不过，robot一词是由卡雷尔的画家哥哥约瑟夫发明的，他依据捷克文Robota（劳役）和波兰文Robotnik（工人）创造出来。卡雷尔曾七次获得诺贝尔文学奖提名，后因肺病英年早逝，约瑟夫则死于纳粹的集中营。

在恰佩克的剧本出版19年以后，美国西屋电器公司便在纽约世博会上展出了第一台家用机器人。不久以后，第一台可编程序机器人和第一台工业机器人先后被注册，随后获得专利。之后，各式各样的机器人如雨后春笋般在世界各地被发明出来。

?谷歌研制的安卓，词意为像人的机器。

与此同时，早在1942年，22岁的美国科幻小说家阿西莫夫就在一部短篇《转圈圈》中订立了所谓的“机器人三定律”，某种意义上成为业界普遍认可的研发准则，也标志着人类对机器人伦理探讨的开始：

一、机器人不得伤害人类，或袖手旁观坐视人类受到伤害；

二、除非违背第一法则，机器人必须服从人类的命令；

三、在不违背第一和第二法则情况下，机器人必须保护自己。

不知清朝的扬州人黄履庄发明的那只木狗，可否算作机器人的前身呢？

黎曼的非欧几何学

自从欧几里得建立了欧氏几何，在数学的严格性和推理性方面树立了典范，两千多年来，它始终保持着神圣而不可动摇的地位。不仅数学家们相信欧氏几何是绝对真理，哲学家们也都认定欧氏几何是明白的和必然的，康德在《纯粹理性批判》中声称，物质世界必然是欧几里得式的。

另一方面，早在1739年，即康德上大学的前一年，苏格兰哲学家休漠出版了一本著作，否定了宇宙中的事物有一定法则。他的不可知论表明，科学是纯粹经验性的，欧几里得几何的定理未必是物理的真理。

事实上，欧氏几何并非无懈可击，从它诞生那一刻起，就有一个问题困扰着数学家们，那就是欧几里得第5公设，也称平行公设。它的叙述不像其他四条公设那样简单明了，这条被法国人达朗贝尔戏称为“几何学的家丑”的著名公设可以这样叙述，

过已知直线外一点，能且仅能作一条直线与已知直线平行。

自古以来，许多的数学家都曾尝试证明平行公设，都没有成功。特别值得一提的是两位波斯数学家欧玛尔?海亚姆和纳西尔丁，他们对平行公设做了较为深入的探讨。如图，假设一个四边形ABCD，AB和CD等长且均垂直于BC边，则依照对称性，∠A和∠D相等。平行公设等价于，证明∠A和∠D都是直角。

?波斯人试图利用此图，证明平行公设。

纳西尔丁证明了，如果∠A与∠D是锐角，则可推出三角形的内角和小于180°，这正是罗巴切夫斯基几何的基本命题，它的另一种等价形式是

过已知直线外一点，能作不止一条直线与已知直线平行。

这是非欧几何学的一种，它是在19世纪前半叶，由德国数学家高斯、匈牙利数学家鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基各自独立发明的。

1854年，德国数学家、高斯的学生黎曼建立起一种更为广泛的几何学，即现在所称的黎曼几何学，罗氏几何和欧氏几何都是这种几何学的特例（分别对应于锐角假设和直角假设）。在黎曼之前，数学家们都认为钝角假设与公认的直线可以无限延长的假设矛盾，因此被取消了，黎曼却把它找了回来。

黎曼区分了“无限”和“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，而只不过是说，它是没有端点或无界的（例如开区间）。在做了这个区分之后，黎曼证明了，钝角假设也与锐角假设一样，能无矛盾地引申出新的几何学。

在黎曼眼里，地球仪（或任意球面）上每个大圆可以看成是一条直线。何为大圆？大圆就是地球仪上圆心在球心的圆，如每一条经线，纬线则只有赤道线是大圆。不难发现，这样的“直线”是无界但却长度有限，任意两条不同的“直线”均相交。换句话说，没有两条直线是平行的。例如，假设赤道线是已知直线，北极点为直线外一点，每条经线均为过北极点的直线。反之亦然，这样一来，

过已知直线外一点，不能作一条直线与已知直线平行。

事实上，每条经线均与赤道线垂直，由此也可推得，任意两条经线与赤道线围成的三角形内角和大于180度，因为两底角是90度，而顶角大于零度。

用圆圈替换线段状的两条大腿行走，这正是自行车的秘密和成功之处。

?毕加索的雕塑《公牛头》

最后，我想说说西班牙人毕加索。作为立体主义绘画的鼻祖，毕加索的艺术灵感来源于四维几何学。当毕加索从一个酷爱数学的精算师（保险、金融等行业分析风险并量化其财务影响的专业人员）朋友那里了解到存在一种四维几何学，他即刻展开了想象：绘画是把三维空间的物体表现在二维平面上，那么四维空间里的物体表现在二维平面上该是什么样呢？于是在1907年，诞生了《亚维农少女》这幅立体主义的开山之作。

除了画画，毕加索也做雕塑，这对他似乎是工作和生活中的一个调剂。《公牛头》是一件现成品，它的材料是自行车的部件，把手是牛角，坐垫是牛脸。这两个部件原本不在一起，艺术家通过想象力，拆除了中间的三角档，让把手翻转过来，与坐垫连成一体，一件艺术品就这么诞生了。又一次，我们回到本文开头提到的自行车。

注：本文原标题“自行车的发明与黎曼几何学‘”，收录在蔡天新教授的新书《数学的故事》，该书即将由中信出版社出版。

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制版编辑 | 黄玉莹

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