欧几里得几何攻略 17，欧几里德几何法则意义上的平直空间

时间：2022-05-23 08:25:22来源：整理作者：佚名投稿手机版

1，欧几里德几何法则意义上的平直空间

这个不很准确。这里书中应该想把一般的欧几里德几何空间与非欧几何的空间形象作一区别。欧氏几何与非欧几何的区别即在于欧几里德第五公设，即过直线外一点有且只有一点与已知直线平行。注意这里平行的涵义就是不相交。由于“平行”的概念涉及无穷，无穷在当时认为是难以说清楚的，所以在《几何原本》中欧几里德试图在公理中避开这个概念，而把第五公设表述为“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交”。为什么说是“平直空间”？就是说不相交的直线（即平行的直线）存在并且唯一，在直观上直线必须是“直”的。与之相对，非欧几何不相交的直线不存在或存在而不唯一，在直观上直线就不是“直”的（比如在球面上、双曲面上的几何）。

当两个矩阵行数相等、列数相等时，可以相加。 a+b=c c矩阵与a、b矩阵也是同行同列的。 c矩阵i行j列元素等于a,b矩阵i行j列元素之和： cij ＝ aij + bij i=1,2,...,m j=1,2,...,n. 几何意义不明确！就像 1+2＝3 的几何意义一样。矩阵在理论研究、科学计算、科研多领域都有重要的应用！

2，欧几里得几何作图

欧几里得几何作图的工具仅限于不带刻度的尺（只能画直线）和圆规（只能画圆）。在传统的欧几里得几何课程中作图工具限于应用不带刻度的直尺和圆规，即通常所谓的“尺规作图”.在尺规作图中，如果根据所给条件能够作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题，这时说这个图形是可作的.如果作不出所求图形，那么可分为两种情况: 1.所求的图形实际上不存在，这时说这个问题是不成立的; 2.所求的图形是存在的，但只用尺规无法作出(如三等分一个任意角)，这时说这个问题是作图不可能的. 可用尺规进行的基本操作是:1.过任意两个点可作一直线.2.直线可以向其两方任意延长.3.以任一点为圆心，以任意长为半径，可以作一个圆..对两个已知的图形(直线或圆)，如它们相交，可求其交点.5.在已知图形(直线或圆)上，或已知图形外，可以任取一些点，但不得取具有某种特殊性质的点. 这些基本操作也称为作图公法.实际上，它们与欧几里得(Euclid )的几何公理是等价的，前三条身就是几何公理.所谓几何作图就是有限次地进行上述几种操作得出图形来.作图方法的研究工作对数学的发展起了巨大的推动作用.

平面几何不可能做到吧？立体几何的话先移动a或b使之相交，再做过ab的平面的垂线。

欧几里得几何攻略 17，欧几里德几何法则意义上的平直空间

3，欧几里得公设高手请入

5、若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线，必在和小于二直角的一侧相交。 ——摘自《几何原本和第五公设》

有没有这条公设都不会影响到几何的相容性。即没有这条平行公设，或者换成其他同类型的公设，形成的几何依然可以成立，即形成的几何本身不会产生矛盾。一般将没有欧几里得第五公设的几何称为非欧几何罗巴切夫斯基最早发现的非欧几里得几何，他的这条公设是：过线外一点，至少有两条直线不与已知直线相交他认为不相交，就是平行可以举一个例子，圆内几何，假设几何空间是圆的内部出去边界部分，显然过园内某条直线外一点有无数直线不和这条直线相交。黎曼在前人基础上建立了更广泛的一种几何叫黎曼几何，其中也举出了一个例子，叫做球面几何。关于几何基础问题的研究和非欧几何可以看希尔伯特写的《几何基础》，拓扑学以及黎曼几何等相关教材。

我们生活在四维空间里，但我们看事物就是三维的。当第四维出现了我们不能理解的弯曲的时候，三维里的直线就不再是直线，所以在四维空间里就肯定存在不只一条“直线”与已知直线平行！具体可以去研究一下第四维空间的有关内容，以及楼上某位所说的黎曼几何。

欧几里得几何攻略 17，欧几里德几何法则意义上的平直空间

4，欧几里德几何

其中最主要的区别在于第五公设,也就是平行公设.在欧几里德的公设中,其中前四个比较简单,但第五个却很复杂,而且这个公设可能并不是公设,而像命题.大家猜测可能欧几里得也证不出这个命题,然后数学家们证明这个命题的时候都以失败而告终.我们平常所讲的非欧几何,其实主要有两种,一种是罗氏几何(双曲几何)一种是黎曼几何(椭圆几何),(欧氏几何统称抛物几何) 罗氏几何平行公理:过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交. 这一非欧几何除了第五公设之外,其它的几乎与欧氏几何的公理体系一样.主要不同的有:1.同一平面上不相交的两直线不一定平行;2.三角形内角和小于180度,且不同的三角形内角和不同;3.凸四边形内角和小于360度;4.不存在矩形和相似形;5.两三角形的三个角对应相等,则两三角形合同;6.两平行线之间的距离沿平行线方向越来越小黎曼几何平行公理:任意两条共面的直线必相交它的公理体系跟欧氏几何的公理体系其实还是着有不小的不同,其中有很多公理体系在这里不成立,比如直线的长度是有限的,因而直线也是封闭的(球面上的大圆弧,球面几何) 1.没有平行线;2.在一般情况下,两点之间有不同的距离;3.任意三角形内角和大于180度;4.直角三角形的三内角之和大于两直角;5.三直角的四边形中,另一个角为钝角;6.三角形的外角不一定大于不相邻的内角,可以等于或小于不相邻内角.....总之这一非欧几何会让你感觉到好像学了一种新的几何

陌生人

5，点的欧几里得几何中的点

二维欧式空间中的有限点集(蓝色). 在欧几里得几何中，点是空间中只有位置，没有大小的图形。点是整个欧几里得几何学的基础，后者是研究点，线，面，体的一种科学。欧几里得最初含糊的定义点作为"没有部分的东西". 在二维欧式空间, 一个点被表示为一个有序对, 其中第一个数字习惯上表示水平位置,通常记为x, 第二个数字习惯上表示竖直位置, 通常记为y. 这一思想很容易广到三维情况, 此时一个点被表示为一个有序三元组, , 第三个数字表示深度, 通常记为 z. 更加一般的情况, 点被表示为一个有序 n 元组, , 其中 n 为点所在的空间的维度. 在现代数学语言中，任何集合的元素都叫作“点”，但与三维空间中的点可以没有任何关系。

假定所有欧几里得公设（当中包括平行公设）都成立的几何称为欧几里得几何。假定平行公设不成立的称为非欧几里得几何。不依赖于平行公设的几何，也就是只假设前四条公设的，称为彷射几何。欧几里得几何的有些性质与平行公设等价，也就是假设平行公设成立，可推导出这些性质，反过来假设这些性质的一项为公理，也可以推导出平行公设。其中最重要的一项，也是最常作为公理代替平行公设的，要算是苏格兰数学家约翰·普莱费尔提出的普莱费尔公理：「给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。」很多人尝试用前四条公设证明平行公设都不成功，反而创造了违反平行公设的双曲几何。最后由意大利数学家贝尔特拉米证明了平行公设独立于前四条公设。

6，几何学与欧几里德尽量简练

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时就指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里得空间。数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom），叙述比较复杂，这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。欧几里得平面几何的五条公理(公设)是： 1.任意两个点可以通过一条直线连接。 2.任意线段能无限延伸成一条直线。 3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 4.所有直角都全等。 5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

7，欧几里德几何原本中勾股定理证明详细过程

证法5(欧几里得的证法) 《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

8，实质性公理化方法与形式化公理化方法的区别是什么

公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．公理化方法的发展公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展．第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，1667—1733)和兰勃特( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生． 19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在．于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列．后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关．现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何．非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间．在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善．公理化方法的形式化德国数学家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通过对射影几何公理化基础的纯逻辑的探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想．他认为，几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，同样地也必须不以图形为依据，而所考虑的只能是被命题或定义所确定的几何概念之间的关系．就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的全部特征必须由公理表达出来．公理可以说是不定义概念的隐定义．有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义．公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定．帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特征．随着数学的深入研究和射影几何公理系统的建立，形式公理学的概念已经成熟．1899年希尔伯特《几何学基础》一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题．这本著作成为形式公理学的奠基著作．希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理看成是没有数学内容的，数学内容是通过解释赋予它们的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述．因此，自从《几何学基础》问世以后，不仅公理化方法进入了数学的其它各个分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的阶段．

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