6.71,数学竞赛中的奇怪问题：你能猜出答案吗？

1. 引言

数学竞赛中常常会有一些奇怪的问题，让参赛者们多费一些脑筋。今天我们要讲的题目是一道比较具有代表性的例子——“6.71”。这道题给出一个小数点后紧跟着一串数字的数，要求我们将其分解为两个数的乘积。这看起来很简单，但事实上这个问题涉及到了数学中的一个非常重要的结论。接下来我们将逐步解析这个问题。

2. 解题思路

首先我们不难发现，$6.71$ 可以写成 $\frac{671}{100}$ 的形式。根据题意，我们要将 $\frac{671}{100}$ 分解成两个数的乘积 $ab$ 的形式。那么这两个数应该怎么选取呢？一开始，我们可能会将 $\frac{671}{100}$ 分解成 $6.71 \times 1$ 或 $67.1 \times 0.1$ 的形式。但事实上，这种分解方法并不成立，因为 $6.71$ 和 $0.1$ 虽然都是有限小数，但在无限小数的情况下，它们的乘积将变成无限不循环小数，与 $\frac{671}{100}$ 不符。

那么我们该如何处理呢？这时候，我们不妨将 $671$ 和 $100$ 分别分解质因数，得到：

$$671=61\times11$$

$$100=2^2\times5^2$$

于是，我们得到了：

$$\frac{671}{100}=\frac{61\times11}{2^2\times5^2}$$

接下来，我们将 $61$ 和 $11$ 均分到两个数中，得到：

$$ab=\frac{61}{2^2\times5}\times\frac{11}$$

这个式子看起来很奇怪，但实际上，它恰是我们要求的两个数的乘积（不妨设它们为 $a$ 和 $b$），而且它们分别为 $\frac{61}{20}$ 和 $\frac{55}$。将它们相乘，我们得到：

$$\frac{61}{20}\times\frac{55}=\frac{671}{100}$$

3. 结论

从以上求解过程中，我们可以得到如下结论：

对于任意一个有限的小数 $a.b_1b_2\cdots b_n$（其中 $a$ 为整数，$b_i$ 为小数部分的数字），如果我们将它分解成 $a+\frac{b_1b_2\cdots b_n}{10^n}$ 的形式，其中 $a$ 和 $\frac{b_1b_2\cdots b_n}{10^n}$ 分别为它的整数部分和小数部分，则 $a$ 和 $\frac{b_1b_2\cdots b_n}{10^n}$ 在最简分式下互质。

对于一个根据以上规律被分解成 $\frac{pq}{10^n}$ 形式的有理数，如果要将它分解成两个数的乘积 $ab$，其中 $a$ 和 $b$ 也均为有理数，那么我们需要将 $p$ 和 $q$ 分别分解质因数，并将其中的每个质因数（包括重复出现的）尽可能平均地分配给 $a$ 和 $b$。这样分配后，$a$ 和 $b$ 的乘积恰好等于原数。

4. 总结

本文通过分析一个数学竞赛中的奇怪问题，讲解了一个非常重要的数学知识点。这个知识点虽然看起来很简单，但实际上涉及到了最大公因数、最小公倍数、约分等多个数学概念的应用，同时也对我们理解数学中的“整除”、“不可约分”等基本概念有着重要的启示作用。相信读者们在掌握了本文所述的求解方法和结论后，将能更好地应对类似的数学问题。